Einführung in die Extremwert-Theorie

(Introduction to extreme value theory)

Seminar (2SWS) im Sommersemester 2009

Wir treffen uns

Wann? Mittwochs, 14:00 c.t.
Wo? Kl. Hörsaal (Bismarckstr. 1½)
Erstes Treffen/Besprechung: Mittwoch, 22.04.2009

Aufteilung der Themen [ PDF ]

Inhalt

Extremwert-Theorie beschäftigt sich mit der Studie der Extrema stochastischer Prozessen. Aus den Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie wissen wir, wie sich einige Summen der Zufallsvariablen asymptotisch verhalten können, wenn die Anzahl der Summanden wächst und jeder Summand nur einen kleinen Beitrag in der Summe leistet (z.B. Gesetz der großen Zahlen, Birkhoff'sche Ergodensatz, zentraler Grenzwertsatz). Oft ist man dagegen am asymptotischen Verhalten der Maxima und Minima stochastischer Prozesse interessiert. Oder ist man an solchen Summen der Zufallsvariablen interessiert, wo wenige Summanden, die extrem groß sind, einen maßgeblichen Beitrag zur Summe leisten. Wie hoch muss die notwendige Sicherheitsreserve einer Bank oder eines Versicherungsunternehmens sein, so dass diese Reserve mit hoher Wahrscheinlichkeit den größten gesamten Kreditausfall (bzw. die größte gesamte Schadenforderung) deckt? Wie hoch muss man einen Deich bauen, so dass er mit großer Wahrscheinlichkeit alle Flute in den kommenden 300 Jahre aufhält? Gerade heute wissen wir, dass solche Fragen oft Falsch beantwortet werden. Information über durchschnittliches Verhalten ist in solchen Situationen nicht ausreichend. Viel mehr wird Information über extreme und außergewöhnlich seltene Ereignisse nützlich sein.

Im Seminar werden folgenden Themen bearbeitet:

  • Extrema unabhängig identisch verteilter und stationärer Folgen von Zufallsvariablen.
  • Punktprozesse.
  • Extrema Gauss'scher Prozesse.
  • Extrema stochastischer Prozesse in kontinuierlicher Zeit.

Voraussetzungen

Vorlesung „Wahrscheinlichkeitstheorie I“ oder vergleichbares Wissen. Insbesondere soll man mit den wahrscheinlichkeitstheoretischen Konvergenzbegriffen vertraut sein.

Anmeldung

Eine E-Mail genügt (Kontakt). Alternativ kann man sich in die Liste an der Tür von Zimmer 315 eintragen. Die Teilnehmerzahl ist auf 12 begrenzt.

Kriterien zur Scheinvergabe

  • Regelmäßige Teilnahme an dem Seminar.
  • Präsentation eines Themas in dem Seminar.

Literatur

  1. Anton Bovier, Extreme values of random processes, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Vorlesungsskript, [ PDF ]
  2. Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg and Thomas Mikosch, Modelling extremal events: for insurance and finance, Springer, 2008.
  3. Georg Lindgren, M. Ross Leadbetter and Holger Rootzén, Extremes and related properties of random sequences and processes, Springer-Verlag, New York, 1983.
  4. Sidney I. Resnick. Extreme values, regular variation, and point processes, Springer-Verlag, New York, 1987.

Zusätzlich (Vorsicht: "Pionierforschung"):

  1. Sourav Chatterjee. Chaos, concentration, and multiple valleys. Preprint, 2008, [ PDF ]