Stochastik 2014 (MB05)

Dozent: Prof. Dr. Anton Klimovsky Contact
Zeit und Ort: Mo+Mi 10:00 – 12:00, Wegelerstr. 10 - Kleiner Hörsaal
Beginn: 26.05.2014
Übungen (Termine):

  • Gruppe 1L: Di, 8 - 10 Uhr, MATH 0.003 Deniz Kattwinkel.
  • Gruppe 2La: Mi, 8 - 10 Uhr, We6 6.020 Christian Rösner.
  • Gruppe 2Lb: Mi, 8 - 10 Uhr, MATH 0.007 Dominik Wilsberg.
  • Gruppe 3L: Do, 16 - 18 Uhr, MATH 0.003 Dominik Wilsberg.

Klausur:

  • Mo, 28.7.2014, 9 - 11 Uhr s.t., Wegelerstr. 10 - Großer Hörsaal.
  • Klausureinsicht: Mi, 30.7.2014, 14 - 16 Uhr s.t., MATH 0.008.
  • Di, 16.9.2014, 9 - 11 Uhr s.t., MATH 0.011 (Nachklausur).
  • Klausureinsicht: Mi, 17.9.2014, 14 - 15 Uhr s.t. MATH 4.034.
  • Themenübersicht -- Die Themen in Klammern sind nicht Klausurrelevant.
  • Formelsammlung.
  • Probeklausur.

Voraussetzungen: Mathematische Grundvorlesungen.
Zielgruppe: Bachelor Lehramt Mathematik.
Umfang: 4 Stunden Vorlesung und 2 Stunden Übung.


Carl Friedrich Gauß (1777–1855) und seine Glockenkurve auf einem 10-DM-Schein.

Inhalt

"La théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul"
(≈ Probability theory is nothing but common sense reduced to calculation)
-- Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

Informell kann man Stochastik als die Logik der Unsicherheit beschreiben. Auch wenn wir nicht darüber nachdenken, benutzen wir verschiedene Ergebnisse der Stochastik täglich: z.B. wenn wir mit einem Handy telefonieren (Signal(de)kodierung), oder wenn wir Digitalphotos machen (Verbesserung eines Bildes), unseres Immunsystem benutzt Stochastik um mit einer Erkältung fertig zu werden. Das Wort "wahrscheinlich" ist ein fester Bestandteil unseres Wortschatzes. Ständig haben wir mit den unvollständigen Informationen oder Unsicherheit zu tun.

Mathematische Stochastik (der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik) ist ein von den am schnellsten wachsenden Bereichen der Mathematik, der viele Verbindungen mit den anderen mathematischen Bereichen (Analysis, Geometrie, Algebra, Kombinatorik, Numerik, usw.) aufweist. Mehrere von den jüngsten Fields Medalien wurden für die Forschung auf dem Gebiet der Stochastik verliehen, z.B. die für Andrei Okounkov, Wendelin Werner, Stanislav Smirnov, Cédric Villani, Martin Hairer.

Stochastik beschäftigt sich mit der Beschreibung (Modellierung) und Untersuchung (Analyse) der zeitlichen Entwicklungen und räumlichen Strukturen, die von Zufall oder Unsicherheit beeinflusst sind.

In dieser Vorlesung werden wir die grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Stochastik kennen lernen. (Dabei werden wir aber nicht die volle Komplexität der sogenannten Maßtheorie verwenden.) Wir setzen lediglich das Grundwissen aus Analysis, linearen Algebra und Kombinatorik voraus.

In der ersten Hälfte der Vorlesung (Algorithmische Mathematik II) werden einige grundlegende Begriffe der diskreten und kontinuierlichen Stochastik bearbeitet.

Folgende Themen werden in der zweiten Hälfte bearbeitet:

  • Wahrscheinlichkeitstheorie:
    • Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren.
    • Mehrstufige Modelle.
    • Stochastische Prozesse.
    • Erwartungswert für allgemeine Zufallsvariablen: Lebesgue-Integral.
    • Bedingter Erwartungswert: ein Schätzer.
    • Ungleichungen für Momente und Wahrscheinlichkeiten.
    • Stochastische Konvergenzbegriffe. Momenterzeugende Funktionen, Charakteristische Funktionen.
    • Starkes Gesetz der großen Zahlen. Ergodensatz.
    • Normalapproximation und Poisson-Approximation der Binominalverteilung, Poisson-Prozess.
    • Zentraler Grenzwertsatz.
    • Pareto-Verteilung.
  • Statistik:
    • Beschreibende Statistik.
    • Statistische Modelle.
    • Lineares statistisches Modell. Methode der kleinsten Quadraten. Lineare Prognosen. Regression.
    • Schätzern und Konfidenzintervale.
    • Hypothesentests.
    • Bootstrap-Verfahren.
    • Bayes-Schätzer.

Skript

Vorsicht: das Skript befindet sich in Vorbereitung. Tipp- und sonstige Fehlerkorrekturen, Verbesserungsvorschläge, Kommentare sind ausdrücklich erwünscht: contact.

Übungsblätter

Die Übungsblätter erscheinen montags. Die Abgabe erfolgt am jeweils darauffolgenden Montag vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter 1-7 sind in der Algorithmischen Mathematik II erhältlich.

Literatur

Bücher (frei Online-Zugänglich von der Uni-Bonn aus):

(Einige weitere einführende Lehr-)Bücher:

  • Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Krengel. 2002.
  • Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Dehling, Haupt. 2004.
  • Stochastik -- Struktur im Zufall. Löwe, Knöpfel. 2009.
  • A Modern Introduction to Probability and Statistics. Dekking, Kraaikamp, Lopuhaä, Meester. 2005.
  • Introduction to probability. Bertsekas, Tsitsiklis. 2002.
  • Probability. Pitman. 1997.
  • Probability and Statistics by Example: I. Suhov, Klebert. 2005.
  • Probability and Random Processes. Grimmett, Stirzaker. 2001.

Einige interessante Vorlesungsskripte:

Interaktive Webseiten: