Wahrscheinlichkeitstheorie I 2015

Lecturer: Prof. Dr. Anita Winter
Lectures: Montag, 10.15-12.00 (@ WSC-S-U-3.03) + Mittwoch 10:15-12:00 (@ WSC-S-U-3.03)
Excercise classes: Dienstag, 14:15-16:00 (WSC-S-U-4.02) oder Mittwoch 14:15-16:00 (WSC-S-U-4.02) Dr. Anton Klimovsky, Wolfgang Löhr

Course

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Target audience

Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Studienganges Bachelor Mathematik im 4. Semester. Sie baut auf die Einfürungsvorlesung Stochastik auf und ist die Voraussetzung für die Teilnahme an einem Bachelorseminar bzw. die Vergabe eines Themas für eine Bachelorarbeit im Bereich Stochastik (Finanzmathematik, Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie).

English summary:

The course is targeted at the Bachelor Math students in the 4th semester of their studies. The course continues and deepens the material from the course "Introduction to Stochastics" and is a requirement for participation in a Bachelor Seminar or for writing a Bachelor Thesis in the area of Stochastics (including Financial Mathematics, Statistics or Probability Theory).

Prerequisites

Die Vorlesung richtet sich an Studierende mit Kenntnissen der Analysis I + II, der Linearen Algebra I + II und einer Einführungsveranstaltung in die Stochastik. Kenntnisse in der Mass- und Integrationstheorie (z.B. aus der Analysis III) sind sehr hilfreich, aber nicht Bedingung.

English summary:

Calculus I+II, Lienar Algebra I+II and an introductory course in Stochastcs. Knowledge of measure theory (e.g., from Analysis III) is very helpful, though not a requirement.

Contents

  1. Maߟtheorie:
    Mengensysteme, Mengenfunktionen, Fortsetzung von Maßen
  2. Zufallsvariablen:
    Messbare Abbildungen, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Beispiele, Transformation von Zufallsvariablen, ...
  3. Unabhängigkeit:
    von Ereignissen und Zufallsvariablen, Kolmogorov's $0$-$1$-Gesetz.
  4. Das Lebesgue-Integral:
    Konstruktion, Lemma von Fatou, Majorisierte und Monotone Konvergenz.
  5. Satz von Fubini.
  6. Satz von Radon-Nykodim.
  7. Bedingte Erwartung.
  8. Ergodensatz.
  9. Gesetz der großen Zahlen:
    schwaches und starkes Gesetz.
  10. Schwache Konvergenz:
    charakeristische Funktionen, Straffheit.
  11. Zentraler Grenzwertsatz.

English summary:

  1. Measure theory:
    Classes of sets, set functions, continuation of measures.
  2. Random variables:
    Measurable mappings, Probability distributions, examples, change of variables, ...
  3. Independence
    of events and random variables, Kolmogorov's $0$-$1$-law.
  4. The Lebesgue integral:
    Construction, Fatou lemma, dominated and monotone convergences.
  5. The Theorem of Fubini.
  6. The Theorem of Radon and Nykodim.
  7. Conditional expectation.
  8. Ergodic theorem.
  9. Law of large numbers:
    Weak and strong laws.
  10. Weak convergence:
    characteristic functions, tightness.
  11. Central limit theorem.

Exercises

The exercise sessions are supervised by Anton Klimovsky und Wolfgang Löhr.

Literature

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2006 (Modern textbook)
  • Ulrich Krengel: Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Springer, 2002 (Textbook)
  • Richard Durrett: Probability: theory and examples, Duxbury Press, 2. ed., 2002 (Textbook with useful examples)
  • William Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol. I, Wiley, 3. ed, 1968 (Classics)
  • William Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol. II, Wiley, 2. ed, 1971 (Classics)
  • Olle Häggström: Streifzuge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2005 (Rather elementary introduction via examples)
  • Olav Kallenberg: Foundations of modern probability, Springer, 2. ed, 2002 (Modern comprehensive reference)
  • Albert Shiryaev: Probability, Springer, 2. ed., 1996 (Comprehensive classical source)

Exercises

Exercise sheets:

  • Sheet #0. Recap of some useful concepts from Analysis.
  • Sheet #1. Classes of sets.
  • Sheet #2. Borel $\sigma$-algebra.
  • Sheet #3. Set functions.
  • Sheet #4. Extension of measures.
  • Sheet #6. Image measures, distributions, independence.
  • Sheet #7. Independence, $0$-$1$-laws.
  • Sheet #8. Lebesgue integral, expectation, change of variables.
  • Sheet #10. Law of large numbers & modes for convergence of random variables.
  • Sheet #11. Radon-Nikodym derivatives & conditional distributions.
  • Sheet #12. Conditional distributions & kernels.
  • Sheet #13. Ergodic theorem.
  • Practice exam.